Steinunn Birna fæddist í Reykjavík og stundaði nám við Tónlistarskólann í Reykjavík. Þaðan lauk hún píanókennaraprófi árið 1979 og einleikaraprófi tveimur árum síðar. Kennari hennar var Árni Kristjánsson. Steinunn lauk meistaragráðu frá New England Conservatory of Music í Boston, USA, árið 1987 undir handleiðslu Leonards Shures.

Steinunn starfaði um tíma á Spáni og kom þar fram sem einleikari og með ýmsum kammerhópum. Hún hefur hlotið ýmiss verðlaun og viðurkenningar fyrir leik sinn og hefur komið fram á tónleikum í Lettlandi, Sviss, Þýskalandi, Englandi, Frakklandi, Færeyjum, Bandaríkjunum og í Litháen, þar sem hún kom fram sem einleikari ásamt St. Christophor hljómsveitinni á Alma Mater tónlistarhátíðinni í Vilnius árið 2000. Steinunn lék einnig nýverið á tveimur tónlistarhátíðum í Vilnius og Kleipéda í Litháen.

Hún kemur fram árlega á fjölmörgum tónleikum , bæði sem einleikari og sem meðleikari. Meðal þeirra einleiksverka sem hún hefur leikið með Sinfóníuhljómsveit Íslands eru píanókonsert Edvards Griegs og Slátta eftir Jórunni Viðar, en hvort tveggja hefur verið gefið út á geislaplötu með leik hennar. Hún hefur gert margar aðrar geislaplötur, diskurinn þeirra Bryndísar Höllu Gylfadóttur hlaut Íslensku tónlistarverðlaunin árið 1998.

Steinunn Birna starfar við tónlistarflutning og við Tónlistarskólann í Reykjavík. Hún er stofnandi og stjórnandi Reykholtshátíðar, sem haldin er síðustu vikuna í júlí ár hvert. Næsta haust mun hún leika einleik ásamt hljómsveitinni Virtuosi di Praga í Rudolfinum salnum í Prag og ásamt St. Christophor hljómsveitinni í Vilnius.