Steinunn Birna fæddist í Reykjavík og stundaði nám við Tónlistarskólann í Reykjavík. Þaðan lauk hún píanókennaraprófi árið 1979 og einleikaraprófi tveimur árum síðar. Kennari hennar var Árni Kristjánsson. Steinunn lauk meistaragráðu frá New England Conservatory of Music í Boston, USA, árið 1987 undir handleiðslu Leonards Shures.

Steinunn starfaði um tíma á Spáni og kom þar fram sem einleikari og með ýmsum kammerhópum. Hún hefur hlotið ýmiss verðlaun og viðurkenningar fyrir leik sinn og hefur komið fram á tónleikum m.a. í Lettlandi, Sviss, Þýskalandi, Englandi, Frakklandi, Færeyjum, Bandaríkjunum og í Litháen. Hún kemur fram árlega á fjölmörgum tónleikum, hérlendis og erlendis bæði sem einleikari og flytjandi kammertónlistar. Steinunn kemur einnig fram á ýmsum alþjóðlegum tónlistarhátíðum. Hún lék einleik ásamt Virtuosi di Praga hljómsveitinni í Rudolphinum tónleikasalnum í Prag í júní 2008. Meðal þeirra einleiksverka sem hún hefur leikið með Sinfóníuhljómsveit Íslands eru píanókonsert eftir Edvard Grieg og Slátta eftir Jórunni Viðar, en hvort tveggja hefur verið gefið út á geislaplötu með leik hennar. Hún hefur gert margar geislaplötur, meðal þeirra er „Ljóð án orða" ásamt Bryndísi Höllu Gylfadóttur sem hlaut Íslensku tónlistarverðlaunin árið 1998. Þriðja plata þeirra “Myndir á þili” kom út árið 2008. Þær hafa ásamt Auði Hafsteinsdóttir leikið saman um árabil m.a. í Reykholtstríóinu sem þær stofnuðu saman og einnig sem dúó bæði á tónleikum og á geisladiskum.

Steinunn Birna starfar sem píanóleikari og við Tónlistarskólann í Reykjavík. Hún er stofnandi og stjórnandi Reykholtshátíðar, sem haldin er síðustu vikuna í júlí ár hvert.